除以零（第2/5页）
但要证明欧几里得几何学的一致性，这可难倒了数学家们。到了十九世纪末叶，所取得的成就至多证明：只要算术在逻辑上没有矛盾，那么，欧几里得几何学就没有矛盾。
4A
一开始，雷内只觉得这是个有点恼人的小麻烦。当时她穿过走廊，敲敲彼得·法布里希办公室敞开的门。“彼得，有空吗？”
法布里希将座椅从办公桌后推开。“当然有空，雷内，什么事？”
雷内走进去，心里知道他会有什么反应。以前她从来没有向系里任何人请教过问题，都是别人向她请教。没有关系。“我想请你帮个忙。几周前我曾告诉你我正在研究的体系，还记得吗？”
他点了点头，“你想用这个体系来改写公理系统。”
“没错。是这样的，几天前我开始得出十分可笑的结论，现在我的体系也开始自相矛盾。请你看一看，好吗？”
法布里希的表情在意料之中。“你想——当然可以，我很高兴——”
“太好了。问题就出在头几页的例子里，其余的供你参考。”说着她递给他一扎薄薄的手稿，“我觉得如果让我给你从头到尾讲一遍的话，你可能会受我引导，只能得出和我相同的结论。”
“也许你说得对。”法布里希瞧了瞧头几页，“我不知道要多久才能看完。”
“不着急。等你有空，看一看我的假设是否有模糊之处，诸如此类的问题。我还会继续研究的，到时候会告诉你我是否想出了新东西。好吗？”
法布里希微笑道：“你准会今天下午就过来，告诉我你已经发现了问题。”
“恐怕不会，需要换一个人才能发现问题。”
他摊开双手。“我试试吧。”
“谢谢。”法布里希不大可能充分理解她的体系，但她只需要某个人来检查公式的细节问题就行了。
4B
卡尔是在一位同事举行的聚会上与雷内相识的。他被她那张脸吸引住了。那是一张异常平庸的脸，大多数时间不苟言笑，但在那次聚会期间，他看见她两度微笑，两度皱眉。看她笑时觉得她不会皱眉，看她皱眉时又觉得她不会笑。卡尔很吃惊；他能够辨认出什么样的脸经常微笑，什么样的脸经常皱眉，但是对她那张脸，他却捉摸不透。
他花了很长一段时间来了解雷内，读懂她的表情。不过，这无疑是值得的。
此时，卡尔坐在书房里的安乐椅上，膝盖上放着一本最新一期的《海洋生物学》杂志，他在倾听雷内在客厅对面她自己的书房里揉皱纸张的沙沙声。整个晚上她都在工作，可以感觉出她愈来愈焦躁不安。不过他进去察看时，她又板起平时那张没有表情的脸，丝毫看不出什么来。
他将杂志放到一边，再次起身走到她的书房门口。只见书桌上摊开一册书，书页上布满难以辨识的公式，点缀着用俄语写的评注。
她浏览着一些资料，难以觉察地皱皱眉，啪的一声合上。卡尔听见她嘀咕了一声“没用”，然后将书放回书架。
“这样下去你会弄出高血压的。”卡尔取笑道。
“别以我的保护人自居。”
卡尔吃了一惊，“我没有。”
雷内转身瞧着他，怒目相对。“我知道自己什么时候工作有效率，什么时候没有。”
心一凉。“那么，我就不打扰你了。”他退了出去。
“谢谢”说完，她的注意力又回到书架上。卡尔离开了，竭力揣测她的瞪视的含义。
5
在一九〇〇年举行的国际数学大会上，大卫·希尔伯特列出了二十三个悬而未决的重大数学问题。他列出的第二大问题是请证明算术在逻辑上的一致性。这个问题一旦被证明，就将保证高等数学许多内容的一致性。就本质而言，这个证明所能保证的是这一点：不可能证明一等于二。认为这个问题具有重大意义的数学家寥寥无几。
5A
法布里希还没有开口，雷内就知道他要说什么了。
“这简直是我见过的最要命的东西。还不大会走路的幼儿会把不同断面的积木嵌进不同形状的槽子里，你知道那种玩具吗？读你的形式体系，就好像观看一个人把一块块积木滑进木板上的每一个洞里，每一次都做得天衣无缝。”
“这么说来，你发现不了错误？”
他摇摇头。“发现不了。我滑进了和你相同的套路，只能用你的方法思考这个问题。”
雷内却已经不在老套路上了；她另辟蹊径，想出了一个截然不同的路子来解决这个问题，但却仅仅证明了原先的体系确实存在矛盾。“不过，还是谢谢你费心了。”
“你要另外找人看一看吗？”
“是的。我想寄给伯克利的卡拉汉看看。去年春天那次会议以来，我们一直保持着联系。”
法布里希点了点头，“他上次发表的一篇文章真的给我留下很深的印象。如果他发现了问题，请一定告诉我。我很好奇。”
雷内会用比“好奇”更强烈的字眼来形容她自己的心情。
5B
雷内对自己的研究感到绝望了吗？卡尔知道她从来不觉得数学真的困难，而只把它当成一种智力挑战。难道她是第一次遇到无法突破的难题？或者说，数学本身就是无解的吗？严格说来，卡尔自己是一个实验主义者，并不真正懂得雷内是怎么创造新的数学体系的。虽说听上去有点傻，但是——她是灵感枯竭了吗？
雷内是成年人，不会像神童那样，因为发现自己正在成为平庸的成年人而感到幻灭的痛苦。另一方面，许多数学家在三十岁之前就达到事业的巅峰。虽然她离三十岁还有几年，但也许她对这个年龄界限逼近自己而感到焦虑。
似乎不大可能，他又漫无边际地想了其他几种可能性。她会不会对学术感到愈来愈悲观？是对自己的研究过于专业化而感到悲哀吗？再不然，纯粹是对自己的工作感到厌倦了吗？
卡尔并不相信这些焦虑是雷内行为古怪的原因。果真是这样的话，他觉得自己肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷内感到苦恼的无论是什么，反正他猜不透。这使他感到烦恼。
6
一九三一年，库尔特·哥德尔证明了两大定理。第一个定理实际上表明：数学包含或许是真实的，但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也可以包含精确、有意义，而且似乎是真实无疑的陈述，但却无法用形式方法加以证明。